柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式的积分形式
柯西-施瓦茨不等式的积分形式
假设 \(𝑓(𝑥)\) 和 \(𝑔(𝑥)\) 在区间 \([𝑎,𝑏]\) 上黎曼可积，那么
\[ \int_𝑎^𝑏𝑓^2(𝑥)\mathrm{d}𝑥⋅\int_𝑎^𝑏𝑔^2(𝑥)\mathrm{d}𝑥≥(\int_𝑎^𝑏𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)\mathrm{d}𝑥)^2 \]
前置知识
柯西不等式 \[ (𝑎^2+𝑏^2)(𝑐^2+𝑑^2)≥(𝑎𝑐+𝑏𝑑)^2 \] 及其一般形式 \[ \displaystyle\sum_{𝑖=1}^𝑛𝑎_𝑖^2\sum_{𝑖=1}^𝑛𝑏_𝑖^2≥(\sum_{𝑖=1}^𝑛𝑎_𝑖𝑏_𝑖)^2 \] 极限、微积分基本知识
柯西-施瓦茨不等式的积分形式的证明
事实上，说起柯西，在高中课本（习题）上我们已经学习过柯西不等式的二维形式
\[ (𝑎^2+𝑏^2)(𝑐^2+𝑑^2)≥(𝑎𝑐+𝑏𝑑)^2 \] 进一步地，柯西不等式的一般形式如下 \[ \displaystyle\sum_{𝑖=1}^𝑛𝑎_𝑖^2\sum_{𝑖=1}^𝑛𝑏_𝑖^2≥(\sum_{𝑖=1}^𝑛𝑎_𝑖𝑏_𝑖)^2 \] 既然都叫柯西（
我们考虑使用柯西不等式的一般形式来证明柯西-施瓦茨不等式的积分形式
由定积分的定义，柯西-施瓦茨不等式的积分形式等价于 \[ \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf^2(x_i)\Delta{x} \cdot \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^ng^2(x_i)\Delta{x} \geq \left( \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i)g(x_i)\Delta{x} \right)^2\\ \] 此处\(\Delta{x}=\frac{b-a}{n}\)，\(x_i=a+i\Delta{x}\)
由极限的运算法则，上式等价于 \[ \lim_{n\to\infty} \left[ \sum_{i=1}^nf^2(x_i) \cdot \sum_{i=1}^ng^2(x_i) - \left( \sum_{i=1}^nf(x_i)g(x_i) \right)^2 \right] \Delta^2{x} \geq0\\ \] 由极限的保号性并约去\(\Delta^2{x}\)，有 \[ \sum_{i=1}^nf^2(x_i) \cdot \sum_{i=1}^ng^2(x_i) - \left( \sum_{i=1}^nf(x_i)g(x_i) \right)^2 \geq0\\ \] 即 \[ \sum_{i=1}^nf^2(x_i) \cdot \sum_{i=1}^ng^2(x_i) \geq \left( \sum_{i=1}^nf(x_i)g(x_i) \right)^2 \\ \] 此即柯西不等式的一般形式.
柯西不等式的一般形式的取等条件为\(\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}\) ，因此对于柯西-施瓦茨不等式的一般形式，
当且仅当 \[ f(x)=\lambda g(x) \] 时，等号成立，式中\(\lambda\)为一实数.
一道例题
这个不等式是最近在准备微积分的第一次期中考试时遇到的
（其实我开始写文章的时候距离考试还有24分钟
想找一些卷子做一做
于是发现了一份浙江某211大学号称120年来最难的微积分试卷
其最后一题原题如下：
- 设 \(𝑓(𝑥)\) 在 \([0,1]\) 上连续且可导，当 \(𝑥∈[0,1]\) 时， \(\displaystyle \int_𝑥^1𝑓(𝑡)\mathrm{d}𝑡≥\frac{1-x^3}{2}\) ，证明： \[ \displaystyle \int_0^1\,[f(x)]^2\mathrm{d}x>\frac{5}{12}\\ \]
令\(\displaystyle F(x)=\int_x^1\,f(t)\mathrm{d}t=-\int_1^x\,f(t)\mathrm{d}t\) ，则 \(\displaystyle F^\prime(x)=-f(x)\)
由 \(\displaystyle F(x)\geq\frac{1-x^3}{2}\) 可得 \[ \int_0^1\,F(x)\mathrm{d}x \geq \int_0^1\frac{1-x^3}{2}\mathrm{d}x=\frac{3}{8}\\ \] 下面运用分部积分法来计算 \(\displaystyle \int_0^1\,F(x)\mathrm{d}x\) \[ \begin{align} \int_0^1\,F(x)\mathrm{d}x &=xF(x)\Big]_0^1-\int_0^1x\mathrm{d}F(x)\\ &=F(1)+\int_0^1xf(x)\mathrm{d}x\\ &=\int_0^1xf(x)\mathrm{d}x\\ \end{align} \\ \]
于是，我们有 \[ \int_0^1xf(x)\mathrm{d}x \geq \frac{3}{8} \\ \] 由柯西-施瓦茨不等式 \[ \int_0^1\,f^2(x)\mathrm{d}x\cdot\int_0^1\,x^2\mathrm{d}x \geq \left( \int_0^1\,xf(x)\mathrm{d}x \right)^2 \geq \frac{9}{64} \\ \] \(\displaystyle \int_0^1\,x^2\mathrm{d}x\)是好积的，其结果为 \(\frac{1}{3}\) ，故 \[ \int_0^1\,f^2(x)\mathrm{d}x \geq \frac{27}{64}>\frac{5}{12}\\ \]