常微分方程、初值问题与方向场
常微分方程、初值问题与方向场
常微分方程 (Ordinary Differential Equation, ODE)
常微分方程 (Ordinary Differential Equation, ODE) 是一个包含单变量函数 \(f(t)\) 及其导数 \(f'(t)\)、\(f''(t)\) 等的方程。 这与偏微分方程 (Partial Differential Equation, PDE) 不同，后者涉及多变量函数及其偏导数
一个\(n\)阶ODE具有以下形式： \[ F(t,y,y',y'',...,y^{(n)})=0 \] 其中 \(F\) 的定义域为 \[ D\subseteq\mathbb{R}\times\underbrace{\mathbb{R}^{m}\times\cdot\cdot\cdot\times\mathbb{R}^{m}}_{n+1} \] 并且依赖于最后一个变量\(y^{(n)}\)（否则阶数会小于n）
该方程的解是一个函数\(f:I\rightarrow\mathbb{R}^{m}\)，定义在一个长度大于\(0\)的区间 \(I\subseteq\mathbb{R}\) 上，该函数n次可微，并且对于所有 \(t\in I\) 满足 \(F(t,f(t),f'(t),f''(t),...,f^{(n)}(t))=0\)
初值问题 (Initial Value Problem, IVP)
给定一个如上所述的ODE，并且 \[ t_{0}\in\mathbb{R},y_{0},...,y_{n}\in\mathbb{R}^{m} \] 使得 \[ F(t_{0},y_{0},...,y_{n})=0 \] 初值问题 (Initial Value Problem, IVP) 的解： \[ F(t,y,y',y'',...,y^{(n)})=0, y^{(i)}(t_{0})=y_{i} \text{ for } 0\le i\le n \] 是指定义域为\(I\)的任何函数\(f:I\rightarrow\mathbb{R}^{m}\)，它解决了上述ODE问题，并满足 \[ f(t_{0})=y_{0},f'(t_{0})=y_{1},...,f^{(n)}(t_{0})=y_{n} \]
显式形式（Explicit Form）
虽然以上ODE和IVP的定义是最通用的，但以下\(n\)阶ODE的显式形式 (explicit form) 最为常见： \[ y^{(n)}=G(t,y,y',...,y^{(n-1)}) \] 显式形式的IVP仅需指定 \[ y^{(i)}(t_{0})=y_{i}\text{ for } 0\le i\le n-1 \]
最大解（Maximal Solution）
有时很容易找到给定ODE的解（或解族），问题是是否存在其他解
由于将解 \(y:I\rightarrow\mathbb{R}\) 限制到子区间\(J\subset I\) 会产生另一个解，因此我们只对最大解 (maximal solutions)感兴趣，即那些不是通过从另一个解进行限制而产生的解
方向场 (Direction fields)
对于一阶ODE： \[ y'=f(t,y) \] 求解它相当于找到一个定义在某个区间\(I\subseteq\mathbb{R}\) 上的函数\(y=y(t)\)，并且对于所有的 \(t\in I\)，满足以下条件：
- 点\((t,y(t))\)在 \(f\) 的定义域内
- 在点 \((t,y(t))\) 处， \(y\) 的斜率等于 \(f(t,y(t))\)
\(y\) 的斜率我们可以用切线方向代替，而点 \((t,y(t))\) 处图形的切线方向又可以用向量 \((1,f(t,y(t)))\) 图形化表示
因此，我们可以在采样点 \((t,y)\in D\) 处绘制一个小向量\((1,f(t,y))\) (或此向量的正倍数)
这些向量被称为 \(y'=f(t,y)\) 的斜率场 (slope field) 或方向场 (direction field)