实系数与复系数的一阶线性常微分方程

一阶线性微分方程（First-Order Linear ODE）

一阶线性常微分方程是形如：

\[ \displaystyle y^{\prime}=a(t)y+b(t)\\ \] 的方程，其中 \(\displaystyle y^{\prime}=\frac{dy}{dt}，\)并且 \(\displaystyle a(t)\) 和 \(\displaystyle b(t)\) 是 \(\displaystyle t\) 的函数

• 如果 \(\displaystyle b(t)\equiv0\) （意味着对于所有 \(\displaystyle t\)， \(\displaystyle b(t)\) 均为零），该ODE称为齐次的（homogeneous）
• 如果对于至少一个值， \(\displaystyle b(t)\ne0\)，该ODE称为非齐次的（inhomogeneous）

这些ODE 的解通常在 \(\displaystyle a(t)\) 和 \(\displaystyle b(t)\) 有定义的任何地方都存在，并且具有显式形式（explicit form）

它们通常形成一个单参数的解族，并且与它们相关的初值问题（IVP）具有唯一的解

实系数一阶线性ODE

齐次情况

对于齐次一阶线性 ODE：

\[ \displaystyle y^{\prime}=a(t)y\\ \] 如果 \(\displaystyle a(t)\) 连续，其通解由下式给出：

\[ \displaystyle y(t)=c\cdot e^{\int_{t_{0}}^{t}a(s)ds}\\ \] 其中 \(\displaystyle c\) 是一个任意常数（通常由初始条件 \(\displaystyle y(t_{0})\) 确定）

\(\displaystyle y(t)\) 的定义域与 \(\displaystyle a(t)\) 的定义域相同

非齐次情况

对于非齐次一阶线性 ODE：

\[ \displaystyle y^{\prime}=a(t)y+b(t)\\ \] 解是通过一种称为参数变易法（variation of parameters）的技术找到的

其思想是采用齐次解 \(\displaystyle y_{h}(t)=ce^{A(t)}\) 的形式，并允许“常数”成为 \(\displaystyle t\) 的函数，即 \(\displaystyle c(t)\)

令 \(\displaystyle y_{p}(t)=c(t)e^{A(t)}\) 为一个特解，其中 \(\displaystyle A(t)=\int_{t_{0}}^{t}a(s)ds\)

将其代入 ODE：

\[ \displaystyle y_{p}^{\prime}(t)=c^{\prime}(t)e^{A(t)}+c(t)a(t)e^{A(t)}\\ \] 所以，

\[ \displaystyle c^{\prime}(t)e^{A(t)}+c(t)a(t)e^{A(t)}=a(t)c(t)e^{A(t)}+b(t)\\ \] 简化为 \(\displaystyle c^{\prime}(t)e^{A(t)}=b(t)\) 或 \(\displaystyle c^{\prime}(t)=b(t)e^{-A(t)}\)

对 \(\displaystyle c^{\prime}(t)\) 积分得到

\[ \displaystyle c(t)=\int_{t_{0}}^{t}b(s)e^{-A(s)}ds\\ \] 因此，一个特解是：

\[ \displaystyle y_{p}(t)=e^{A(t)}\int_{t_{0}}^{t}b(s)e^{-A(s)}ds\\ \] 非齐次 ODE 的通解 \(\displaystyle y(t)\) 是齐次ODE的通解 \(\displaystyle y_{h}(t)=Ce^{A(t)}\) （其中\(C\)是任意常数）与特解 \(\displaystyle y_{p}(t)\) 的和：

\[ \displaystyle y(t)=Ce^{A(t)}+e^{A(t)}\int_{t_{0}}^{t}b(s)e^{-A(s)}ds\\ \] 如果给定初始条件 \(\displaystyle y(t_{0})=y_{0}\)，则 \(\displaystyle Ce^{A(t_{0})}=y_{0}\) （因为根据积分限的选择， \(\displaystyle A(t_{0})=0\) 且 \(\displaystyle y_{p}(t_{0})=0\)）

所以 \(\displaystyle C=y_{0}\)，得到：

\[ \displaystyle y(t)=y(t_{0})e^{A(t)}+e^{A(t)}\int_{t_{0}}^{t}b(s)e^{-A(s)}ds\\ \] 解的最大定义域是 \(\displaystyle a(t)\) 和 \(\displaystyle b(t)\) 定义域的交集

特解 \(\displaystyle y_{p}(t)\) 的另一种表示有时很有用： \[ \displaystyle y_{p}(t)=\int_{t_{0}}^{t}b(s)e^{A(t)-A(s)}ds=\int_{t_{0}}^{t}G(s，t)b(s)ds\\ \] 其中\[\displaystyle G(s，t)=\exp\left(\int_{s}^{t}a(\tau)d\tau\right)\\\]

积分因子（Integrating Factors）

解 \(\displaystyle y^{\prime}=a(t)y+b(t)\) 的另一种方法是使用积分因子

将ODE改写为

\[ \displaystyle y^{\prime}-a(t)y=b(t)\\ \] 两边乘以一个函数 \(\displaystyle m(t)\)，即积分因子：

\[ \displaystyle m(t)y^{\prime}-m(t)a(t)y=m(t)b(t)\\ \] 我们希望左边是乘积的导数，具体来说是 \(\displaystyle \frac{d}{dt}(m(t)y(t))=m(t)y^{\prime}+m^{\prime}(t)y\)

比较 \(\displaystyle m(t)y^{\prime}-m(t)a(t)y\) 和 \(\displaystyle m(t)y^{\prime}+m^{\prime}(t)y，\) 我们需要 \(\displaystyle m^{\prime}(t)=-a(t)m(t)\)

这是一个关于 \(\displaystyle m(t)\) 的可分离ODE：

\[ \displaystyle \frac{dm}{m}=-a(t)dt\\ \] 积分得到

\[ \displaystyle \ln|m(t)|=-\int a(t)dt=-A(t)\\ \] 所以 \(\displaystyle m(t)=e^{-A(t)}\) （我们可以选择积分常数为1）

有了这个 \(\displaystyle m(t)\)，方程变为：

\[ \displaystyle \frac{d}{dt}(e^{-A(t)}y(t))=e^{-A(t)}b(t)\\ \] 两边积分：

\[ \displaystyle e^{-A(t)}y(t)=\int e^{-A(t)}b(t)dt+C\\ \]

\[ \displaystyle y(t)=e^{A(t)}\left(\int e^{-A(t)}b(t)dt+C\right)\\ \]

这与通过参数变易法得到的通解相同

复系数一阶线性ODE

显式复系数一阶线性 ODE具有以下形式：

\[ \displaystyle z^{\prime}(t)=a(t)z(t)+b(t)\\ \] \(\displaystyle z(t)\) 是实变量的复值函数，也就是说 \(\displaystyle z(t)=x(t)+iy(t)\)

\(\displaystyle a(t)\)，\(b(t)\) 是复值函数 \(\displaystyle D\rightarrow\mathbb{C}，\) 令 \(\displaystyle a(t)=a_{1}(t)+ia_{2}(t)\) 和 \(\displaystyle b(t)=b_{1}(t)+ib_{2}(t)\)

将这些代入 ODE 得到：

\[ \displaystyle x^{\prime}(t)+iy^{\prime}(t)=(a_{1}(t)+ia_{2}(t))(x(t)+iy(t))+(b_{1}(t)+ib_{2}(t))\\ \]

\[ \displaystyle x^{\prime}(t)+iy^{\prime}(t)=(a_{1}x-a_{2}y+b_{1})+i(a_{2}x+a_{1}y+b_{2})\\ \]

令实部和虚部分别相等，得到一个由两个实系数一阶线性 ODE组成的系统：

\[ \displaystyle x^{\prime}(t)=a_{1}(t)x(t)-a_{2}(t)y(t)+b_{1}(t)\\ \]

\[ \displaystyle y^{\prime}(t)=a_{2}(t)x(t)+a_{1}(t)y(t)+b_{2}(t)\\ \]

矩阵形式为：

\[ \displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}(t)\\ y^{\prime}(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1}(t)&-a_{2}(t)\\ a_{2}(t)&a_{1}(t)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x(t)\\ y(t)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_{1}(t)\\ b_{2}(t)\end{pmatrix}\\ \]

通解

求解方法与实数情况类似

通解为：

\[ \displaystyle z(t)=Z_{0}e^{A(t)}+z_{p}(t)\\ \] 其中 \(\displaystyle Z_{0}\in\mathbb{C}\) 是任意复常数，并且 \(\displaystyle A(t)=\int_{t_{0}}^{t}a(s)ds\) （这现在是一个复值积分），此外：

\[ \displaystyle z_{p}(t)=e^{A(t)}\int_{t_{0}}^{t}b(s)e^{-A(s)}ds\\ \] 证明依赖于实变量复值函数的微分和积分是逐分量进行的，并且 \(\displaystyle \frac{d}{dt}e^{A(t)}=A^{\prime}(t)e^{A(t)}\) 对于复值 \(\displaystyle A(t)\) 也成立

对于 IVP \(\displaystyle z(t_{0})=z_{0}，\) 唯一解是 \(\displaystyle z(t)=z_{0}e^{A(t)}+z_{p}(t)\) （由于选择 \(\displaystyle t_{0}\) 作为积分下限， \(\displaystyle A(t_{0})=0， z_{p}(t_{0})=0\)）

实系数 ODE 的复化（Complexification）

为了解实系数 ODE

\[ \displaystyle y^{\prime}(t)=a(t)y(t)+b(t)\\ \] 其中 \(\displaystyle a(t)\) 是实数，如果 \(\displaystyle b(t)\) 例如是 \(\displaystyle \sin(\omega t)\)，我们可以使用复化（Complexification）方法

令 \(\displaystyle b(t)=\text{Im}(B(t))\)，其中 \(\displaystyle B(t)\) 是一个复函数(例如，如果 \(\displaystyle b(t)=\sin(\omega t)\) 可以选择 \(\displaystyle B(t)=e^{i\omega t}\)，因为 \(\displaystyle \text{Im}(e^{i\omega t})=\sin(\omega t))\)

解复系数 ODE

\[ \displaystyle z^{\prime}(t)=a(t)z(t)+B(t)\\ \] 那么 \(\displaystyle y(t)=\text{Im}(z(t))\) 将是原始实系数 ODE 的一个解

类似地，如果 \(\displaystyle b(t)=\text{Re}(B(t))\)，那么 \(\displaystyle y(t)=\text{Re}(z(t))\) 是解