可分离的一阶常微分方程

可分离的一阶常微分方程

一个形如 \[ \displaystyle y' = f(x,y) \] 的一阶常微分方程，如果其右端函数 \(\displaystyle f(x,y)\) 可以分解为两个分别只依赖于 \(\displaystyle x\) 和只依赖于 \(\displaystyle y\) 的函数之积，即 \[ \displaystyle f(x,y) = f_1(x)f_2(y) \] 则称该方程为可分离方程（Separable Equation）

我们通常假设 \(\displaystyle f_1\) 和 \(\displaystyle f_2\) 的定义域 \(\displaystyle I\) 和 \(\displaystyle J\) 分别是开区间

特别地，如果 \(\displaystyle f_2(y)\) 在区间 \(\displaystyle J\) 上没有零点，那么函数 \(\displaystyle N(y) = 1/f_2(y)\) 在 \(\displaystyle J\) 上是良定义的，并且也没有零点令 \(\displaystyle M(x) = f_1(x)\)，则原方程 \(\displaystyle y' = f_1(x)f_2(y)\) 可以改写为： \[ \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{M(x)}{N(y)}\\ \] 或者写作微分形式： \[ \displaystyle M(x)dx - N(y)dy = 0\\ \]

解法定理

可分离方程的解法通常由以下定理给出：

定理

假设函数 \(\displaystyle M: I \rightarrow \mathbb{R}\) 和 \(\displaystyle N: J \rightarrow \mathbb{R}\) 均连续，并且 \(\displaystyle N(y)\) 在开区间 \(\displaystyle J\) 上没有零点

设 \(\displaystyle (x_0, y_0) \in I \times J\)定义函数 \(\displaystyle H_1: I \rightarrow \mathbb{R}\) 和 \(\displaystyle H_2: J \rightarrow \mathbb{R}\) 如下： \[ \displaystyle H_1(x) = \int_{x_0}^{x} M(\xi) d\xi\\ \]

\[ \displaystyle H_2(y) = \int_{y_0}^{y} N(\eta) d\eta\\ \]

再设 \(\displaystyle I' \subseteq I\) 是一个包含 \(\displaystyle x_0\) 的区间，并且满足 \(\displaystyle H_1(I') \subseteq H_2(J)\)

那么，初值问题： \[ \displaystyle y' = \frac{M(x)}{N(y)} \quad \land \quad y(x_0) = y_0\\ \] 存在唯一的解 \(\displaystyle y: I' \rightarrow \mathbb{R}\)，该解由下式给出： \[ \displaystyle y(x) = H_2^{-1}(H_1(x)) \quad \text{for } x \in I'\\ \] 这个解也可以隐式地表示为 \(\displaystyle H_2(y) = H_1(x)\)

证明

由于 \(\displaystyle N(y)\) 连续且在 \(\displaystyle J\) 上无零点，所以 \(\displaystyle N(y)\) 在 \(\displaystyle J\) 上恒大于零或恒小于零

这意味着 \(\displaystyle H_2(y)\) 在 \(\displaystyle J\) 上是严格单调的

因此，\(\displaystyle H_2: J \rightarrow H_2(J)\) 是一个双射函数，其反函数 \(\displaystyle H_2^{-1}\) 存在且定义在 \(\displaystyle H_2(J)\) 上

定义的 \[ \displaystyle y(x) = H_2^{-1}(H_1(x)) \] 是良定义的

通过求导可以验证它满足微分方程： \[ \displaystyle y'(x) = (H_2^{-1})'(H_1(x)) \cdot H_1'(x) = \frac{H_1'(x)}{H_2'(H_2^{-1}(H_1(x)))} = \frac{M(x)}{N(y(x))} \] 同时，由于 \(\displaystyle H_1(x_0) = 0\) 且 \(\displaystyle H_2(y_0) = 0\)，所以 \[ \displaystyle y(x_0) = H_2^{-1}(H_1(x_0)) = H_2^{-1}(0) = y_0 \] 满足初始条件

若 \(\displaystyle y(x)\) 是该初值问题的任一解，将方程改写为 \[ \displaystyle N(y(x))y'(x) = M(x) \] 然后从 \(\displaystyle x_0\) 到 \(\displaystyle x\) 积分： \[ \displaystyle \int_{x_0}^{x} N(y(\xi))y'(\xi)d\xi = \int_{x_0}^{x} M(\xi)d\xi \] 左边进行换元 \(\displaystyle \eta = y(\xi)\)，\(\displaystyle d\eta = y'(\xi)d\xi\)，得到 \[ \displaystyle \int_{y(x_0)}^{y(x)} N(\eta)d\eta = \int_{y_0}^{y(x)} N(\eta)d\eta = H_2(y(x)) \] 右边即为 \(\displaystyle H_1(x)\)

因此，任何解都必须满足 \(\displaystyle H_2(y(x)) = H_1(x)\)

注记

证明过程显示 \(\displaystyle H_2(J)\) 是一个包含 \(\displaystyle 0 = H_2(y_0)\) 的开区间

由于 \(\displaystyle H_1\) 连续且 \(\displaystyle H_1(x_0)=0\)，因此存在 \(\displaystyle \delta > 0\) 使得当 \(\displaystyle x \in (x_0-\delta, x_0+\delta)\) 时，\(\displaystyle H_1(x) \in H_2(J)\)

这意味着初值问题在 \(\displaystyle (x_0, y_0)\) 附近局部存在唯一解

条件 \[ \displaystyle H_1(I') \subseteq H_2(J) \] 保证了对于每个 \(\displaystyle x \in I'\)，方程 \(\displaystyle H_2(y) = H_1(x)\) 都有一个解 \(\displaystyle y \in J\)

如果幸运的话，我们或许能够从中显式解出 \(\displaystyle y\) 得到 \(\displaystyle y(x)\) 的表达式

关于 \(\displaystyle y' = f_1(x)f_2(y)\) 的一般性讨论

假设 \(\displaystyle f_1: I \rightarrow \mathbb{R}\) 和 \(\displaystyle f_2: J \rightarrow \mathbb{R}\) 是定义在开区间 \(\displaystyle I, J \subseteq \mathbb{R}\) 上的连续函数

\(\displaystyle f_2(y)\) 的零点

如果 \(\displaystyle y_0\) 是 \(\displaystyle f_2(y)\) 的一个零点 (即 \(\displaystyle f_2(y_0)=0\))

那么 \(\displaystyle y(x) \equiv y_0\) 是方程的一个稳态解 (或平衡解、常数解)

这些零点会将区间 \(\displaystyle J\) 分割成若干开子区间，在这些子区间上 \(\displaystyle f_2(y)\) 没有零点

局部存在性与唯一性

在由 \(\displaystyle I\) 和 \(\displaystyle f_2(y)\) 无零点的子区间 \(\displaystyle J'\) 构成的开矩形区域 \(\displaystyle I \times J'\) 内

对于任何初始点 \(\displaystyle (x_0, y_0) \in I \times J'\)，初值问题 \[ \displaystyle y' = f_1(x)f_2(y) \land y(x_0)=y_0 \] 的解是局部存在且唯一的

隐式解

在 \(\displaystyle I \times J'\) 区域内的解 \(\displaystyle y(x)\) 可以隐式地表示为 \[ \displaystyle F(x,y) = C \] 其中 \[ \displaystyle F(x,y) = \int_{x_0}^{x} M(\xi)d\xi - \int_{y_0}^{y} N(\eta)d\eta \] 此处 \(\displaystyle M(x)=f_1(x), N(y)=1/f_2(y)\)

这表明微分形式 \[ \displaystyle M(x)dx - N(y)dy = 0 \] 在 \(\displaystyle I \times J'\) 上是恰当（exact）的，这是因为 \[ \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y} = 0 = \frac{\partial N}{\partial x} \] 且 \(\displaystyle I \times J'\) 是矩形区域，因此是单连通的

全局唯一性

在整个定义域 \(\displaystyle I \times J\) 上的解并不能保证具有唯一性

除非对常微分方程有额外的假设

例如，\(\displaystyle y'=y^2\) 的初值问题解是全局唯一的（在其定义域内），而 \(\displaystyle y'=\sqrt{|y|}\) 则不是