一致收敛与Weierstrass判别法

在微积分中，我们经常遇到函数序列或函数项级数的极限

一个自然的问题是：极限函数是否继承了序列中函数所具有的性质？

例如，如果序列中的每个函数都是连续的、可微的或可积的，那么它们的极限函数是否也具有相同的性质？

对于普通的逐点收敛 (point-wise convergence)，答案通常是否定的

这意味着，即使一个函数序列 \(f_n(x)\) 中的每个 \(f_n(x)\) 都很“好”（比如连续），其逐点收敛的极限函数 \(f(x)\) 却可能不那么“好”（比如不连续）

一致收敛 (uniform convergence) 的概念正是为了解决这一问题而引入的

它是一种更强的收敛方式，能够保证在一定条件下，极限函数可以“继承”函数序列的良好性质，如连续性、可微性和可积性

理解一致收敛对于常微分方程解的存在性定理、傅里叶级数理论以及实分析中的许多重要内容至关重要

三个反例

以下三个例子展示了函数序列虽然逐点收敛，但其极限函数可能不具备原序列函数的良好性质，或者其导数序列不一致收敛

这些例子反驳了19世纪初普遍存在的一种朴素看法，即连续/可微/可积函数的逐点极限函数也会继承相应的性质

反例1：连续性

考虑函数序列 \[ \displaystyle f_n(x) = x^n \] 其中 \(\displaystyle x \in [0,1]\)

序列中的每一个函数 \(\displaystyle f_n(x)\) 在 \(\displaystyle [0,1]\) 上都是连续的

该序列逐点收敛于函数 \[ \displaystyle f(x) = \lim_{n\to\infty} x^n = \begin{cases} 0 & \text{if } 0 \le x < 1 \\ 1 & \text{if } x = 1 \end{cases} \] 然而，极限函数 \(\displaystyle f(x)\) 在 \(\displaystyle x=1\) 处不连续

反例2：可微性

考虑函数序列 \[ \displaystyle g_n(x) = \frac{\sin(nx)}{\sqrt{n}} \] 其中 \(\displaystyle x \in [0, 2\pi]\)

该序列逐点收敛（甚至一致收敛）到 \(\displaystyle g(x) \equiv 0\)，这是一个处处可微的函数，且 \(\displaystyle g'(x) \equiv 0\)

但是，其导数序列为 \[ \displaystyle g_n'(x) = \sqrt{n}\cos(nx) \] 该导数序列对于任何 \(\displaystyle x \in [0, 2\pi]\)，极限 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} g_n'(x)\) 都不（正常）存在

反例3：可积性

考虑定义在 \(\displaystyle [0,1]\) 上的函数序列 \(\displaystyle h_n(x)\)： \[ \displaystyle h_n(x) = \begin{cases} 2n^2x & \text{if } 0 \le x \le \frac{1}{2n} \\ 2n - 2n^2x & \text{if } \frac{1}{2n} \le x \le \frac{1}{n} \\ 0 & \text{if } \frac{1}{n} \le x \le 1 \end{cases} \] \(\displaystyle h_n(x)\) 的图像与x轴构成一个底为 \(\displaystyle 1/n\)、高为 \(\displaystyle n\) 的三角形（顶点为 \(\displaystyle (0,0), (\frac{1}{2n}, n), (\frac{1}{n}, 0)\)）

并且 \(\displaystyle h_n(x)\) 在 \(\displaystyle [1/n, 1]\) 上为0，该序列逐点收敛到 \(\displaystyle h(x) \equiv 0\)

\(\displaystyle h_n(x)\) 图像下的面积为 \[ \displaystyle \int_0^1 h_n(x)dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} \cdot n = \frac{1}{2} \] 对所有 \(\displaystyle n\) 成立，因此， \[ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int_0^1 h_n(x)dx = \frac{1}{2} \] 但是 \[ \displaystyle \int_0^1 \lim_{n\to\infty} h_n(x)dx = \int_0^1 0 dx = 0 \]

所以， \[ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int_0^1 h_n(x)dx \neq \int_0^1 \lim_{n\to\infty} h_n(x)dx \]

逐点收敛与一致收敛

设 \(\displaystyle I \subseteq \mathbb{R}\) 为一个区间，\(\displaystyle (f_n)_{n=0}^{\infty}\) 为定义在 \(\displaystyle I\) 上的函数序列 \(\displaystyle f_n: I \to \mathbb{R}\)

逐点收敛 (Point-wise Convergence): 如果对于每一个 \(\displaystyle x \in I\)，序列 \(\displaystyle (f_n(x))\)（这是一个普通的实数序列）都收敛，则称函数序列 \(\displaystyle (f_n)\) 在 \(\displaystyle I\) 上逐点收敛 此时，极限函数 \(\displaystyle f(x) = \lim_{n\to\infty} f_n(x)\) 定义了一个函数 \(\displaystyle f: I \to \mathbb{R}\)

一致收敛 (Uniform Convergence): 如果函数序列 \(\displaystyle (f_n)\) 逐点收敛于 \(\displaystyle f\)，并且对于任意给定的 \(\displaystyle \epsilon > 0\)，都存在一个与 \(\displaystyle x\) 无关的自然数 \(\displaystyle N \in \mathbb{N}\)，使得对于所有 \(\displaystyle n > N\) 和所有 \(\displaystyle x \in I\)，都有 \(\displaystyle |f(x) - f_n(x)| < \epsilon\)

两者的关键区别在于，一致收敛要求的 \(\displaystyle N = N_\epsilon\) 仅依赖于 \(\displaystyle \epsilon\)，不依赖于 \(\displaystyle x \in I\)；而逐点收敛允许 \(\displaystyle N = N_{\epsilon, x}\) 依赖于 \(\displaystyle x\) 和 \(\displaystyle \epsilon\)

\(\displaystyle (f_n)\) 一致收敛于 \(\displaystyle f\) 等价于：对于任意 \(\displaystyle \epsilon > 0\)，除有限多项外，\(\displaystyle f_n\) 的图像都位于 \(\displaystyle f\) 图像周围宽度为 \(\displaystyle 2\epsilon\) 的带状区域内。这是一致收敛的几何解释

一致收敛的范数观点

设 \[ \displaystyle d_\infty(f,g) = \sup_{x \in I} \{|f(x)-g(x)|\} \] 则 \(\displaystyle (f_n)\) 一致收敛于 \(\displaystyle f\) 等价于当 \(\displaystyle n \to \infty\) 时\(\displaystyle d_\infty(f, f_n) \to 0\)

所以说，一致收敛可以看作是在广义度量空间 \(\displaystyle (\mathbb{R}^I, d_\infty)\) 中的普通收敛

\(\displaystyle d_\infty(f,g)\)称为一致收敛度量或 \(\displaystyle L^\infty\)-度量（metric）

推广

一致收敛的定义可以推广到定义域为任意集合 \(\displaystyle X\) 的函数 \(\displaystyle f_n: X \to \mathbb{R}\)

值域也可以推广到 \(\displaystyle \mathbb{R}^k\) 或任意带有距离函数 \(\displaystyle d: M \times M \to \mathbb{R}\) 的度量空间 \(\displaystyle (M,d)\)

在定义收敛时，使用 \(\displaystyle <\) 或 \(\displaystyle \le\) 没有本质区别

一致收敛的三个重要定理

开头我们提到过，引入一致收敛概念的目的是为了避免出现之前的“反例”情况

当要求函数序列 \(\displaystyle (f_n)\) 和/或其导数序列 \(\displaystyle (f_n')\) 一致收敛时，极限函数便可以继承原函数的连续性、可微性、可积性

连续性定理

如果序列中的所有函数 \(\displaystyle f_n\) 都在点 \(\displaystyle x_0 \in I\) 处连续，并且序列 \(\displaystyle (f_n)\) 在 \(\displaystyle I\) 上一致收敛于函数 \(\displaystyle f(x) = \lim_{n\to\infty} f_n(x)\)，则极限函数 \(\displaystyle f\) 在点 \(\displaystyle x_0\) 处也连续

特别地，一致收敛的连续函数序列的极限函数本身也是连续的

证明：

给定 \(\displaystyle \epsilon > 0\)，由 \(\displaystyle (f_n)\) 一致收敛于 \(\displaystyle f\)，存在 \(\displaystyle N \in \mathbb{N}\) 使得对所有 \(\displaystyle n > N\) 和 \(\displaystyle x \in I\)，有 \[ \displaystyle |f(x) - f_n(x)| < \epsilon/3 \] 特别地，对 \(\displaystyle n=N+1\) 成立

因为 \(\displaystyle f_{N+1}\) 在 \(\displaystyle x_0\) 处连续，存在 \(\displaystyle \delta > 0\) 使得对所有 \(\displaystyle x \in I\) 且 \(\displaystyle |x-x_0| < \delta\)，有 \[ \displaystyle |f_{N+1}(x) - f_{N+1}(x_0)| < \epsilon/3 \] 利用三角不等式： \[ \begin{align} \displaystyle |f(x) - f(x_0)| &\le |f(x) - f_{N+1}(x)| + |f_{N+1}(x) - f_{N+1}(x_0)| + |f_{N+1}(x_0) - f(x_0)| \\ &< \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} \\&= \epsilon \end{align} \]

这就证明了 \(\displaystyle f\) 在 \(\displaystyle x_0\) 处连续

微分定理

如果序列中的所有函数 \(\displaystyle f_n\) 都是 \(\displaystyle C^1\) 函数（即一阶导数连续），序列 \(\displaystyle (f_n)\) 在 \(\displaystyle I\) 上逐点收敛于函数 \(\displaystyle f(x) = \lim_{n\to\infty} f_n(x)\)，

并且导数序列 \(\displaystyle (f_n')\) 在 \(\displaystyle I\) 上一致收敛于函数 \(\displaystyle g(x)\)，则极限函数 \(\displaystyle f\) 也是 \(\displaystyle C^1\) 函数，并且其导数满足 \[ \displaystyle f'(x) = g(x) = \lim_{n\to\infty} f_n'(x) \] 证明：

对任意 \(\displaystyle a \in I\)，由微积分基本定理，有 \[ \displaystyle f_n(x) = f_n(a) + \int_a^x f_n'(t)dt \] 由于 \(\displaystyle (f_n')\) 一致收敛于 \(\displaystyle g\)，由连续性定理可知 \(\displaystyle g\) 是连续的

可以选择一个可积的界 \[ \displaystyle \Phi(t) = 1 + |g(t)| \] 来约束 \(\displaystyle (f_n')\)

应用勒贝格有界收敛定理（Lebesgue’s Bounded Convergence Theorem），可得 \[ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int_a^x f_n'(t)dt = \int_a^x g(t)dt \] 在第一步的等式两边取极限 \(\displaystyle n \to \infty\)，得到 \[ \displaystyle f(x) = f(a) + \int_a^x g(t)dt \] 再次应用微积分基本定理，可知 \(\displaystyle f\) 可微且 \[ \displaystyle f'(x) = g(x) = \lim_{n\to\infty} f_n'(x) \] 由于 \(\displaystyle g\) 是连续的，所以 \(\displaystyle f\) 是 \(\displaystyle C^1\) 函数

注记

• 此证明显示 \(\displaystyle (f_n)\) 不仅逐点收敛于 \(\displaystyle f\)，而且在 \(\displaystyle I\) 的每个有界子区间上一致收敛
• 微分定理的关键假设是导数序列 \(\displaystyle (f_n')\) 的一致收敛性，而不是函数序列 \(\displaystyle (f_n)\) 本身的一致收敛性（对于 \(\displaystyle (f_n)\)，逐点收敛就足够了，甚至只需 \(\displaystyle (f_n(a))\) 收敛）

积分定理

如果 \(\displaystyle I\) 是一个有界区间，序列中的所有函数 \(\displaystyle f_n\) 在 \(\displaystyle I\) 上（勒贝格）可积，

并且序列 \(\displaystyle (f_n)\) 在 \(\displaystyle I\) 上一致收敛于函数 \(\displaystyle f(x) = \lim_{n\to\infty} f_n(x)\)，则极限函数 \(\displaystyle f\) 也是可积的，并且我们有： \[ \displaystyle \int_I f(x)dx = \lim_{n\to\infty} \int_I f_n(x)dx\\ \] 证明：

存在 \(\displaystyle N \in \mathbb{N}\) 使得对所有 \(\displaystyle n>N\) 和 \(\displaystyle x \in I\)，有 \[ \displaystyle |f(x) - f_n(x)| < 1 \] 从而 \(\displaystyle |f_n(x) - f_{N+1}(x)| < 2\) 对 \(\displaystyle n>N\) 和 \(\displaystyle x \in I\) 成立

一个可积的界是 \[ \displaystyle \Phi(x) := |f_{N+1}(x)| + 2 \] \(\displaystyle \Phi(x)\)之所以可积是因为 \(\displaystyle f_{N+1}\) 可积且区间 \(\displaystyle I\) 有界（常数函数2在有界区间上可积）

应用勒贝格有界收敛定理即可得出结论

事实上，对于紧区间 \(\displaystyle I=[a,b]\) 上的连续函数序列，有更简单的证明： \[ \begin{align} \displaystyle |\int_a^b f(x)dx - \int_a^b f_n(x)dx| &= |\int_a^b (f(x)-f_n(x))dx|\\ &\le \int_a^b |f(x)-f_n(x)|dx \\ &\le (b-a)\sup_{x \in [a,b]} \{|f(x)-f_n(x)|\} \end{align} \] 由于 \(\displaystyle f_n \to f\) 一致收敛，\(\displaystyle \sup |f(x)-f_n(x)| \to 0\)，因此 \[ \displaystyle \int_a^b f_n(x)dx \to \int_a^b f(x)dx \] 需要注意的是，区间 \(\displaystyle I\) 有界的假设是本质的。例如， \[ \displaystyle f_n(x) = \begin{cases} \frac 1n & \text{if }0 \le x \le n\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \] 一致收敛于 \(\displaystyle \mathbb{R}\)，但 \[ \displaystyle \int_{\mathbb{R}} f_n(x)dx = 1 \neq 0 = \int_{\mathbb{R}} 0 dx \]

魏尔斯特拉斯判别法 (Weierstrass's Criterion / M-Test)

假设 \(\displaystyle f_n: D \to \mathbb{R}\) (\(\displaystyle n=0,1,2,...\)) 是一系列定义在共同定义域 \(\displaystyle D\) 上的函数

并且存在常数序列 \(\displaystyle M_n \in \mathbb{R}\) 使得对所有 \(\displaystyle n \in \mathbb{N}\) 和 \(\displaystyle x \in D\)，都有 \(\displaystyle |f_n(x)| \le M_n\)

如果级数 \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty M_n\) 收敛 (即 \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty M_n < \infty\))，则函数级数 \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n(x)\) 在 \(\displaystyle D\) 上一致收敛

证明：

对任意固定的 \(\displaystyle x \in D\)，由于 \(\displaystyle |f_n(x)| \le M_n\) 且 \(\displaystyle \sum M_n\) 收敛

根据比较判别法，级数 \(\displaystyle \sum f_n(x)\) 绝对收敛，因此也收敛记其和函数为 \[ \displaystyle F(x) = \sum_{n=0}^\infty f_n(x) \] 考虑部分和序列 \[ \displaystyle F_N(x) = \sum_{k=0}^N f_k(x) \] 那么 \[ \displaystyle |F(x) - F_N(x)| = |\sum_{k=N+1}^\infty f_k(x)| \le \sum_{k=N+1}^\infty |f_k(x)| \le \sum_{k=N+1}^\infty M_k \] 因为 \(\displaystyle \sum M_n\) 收敛，所以对于任意 \(\displaystyle \epsilon > 0\)，存在一个 \(\displaystyle N_0\) 使得当 \(\displaystyle N > N_0\) 时，余项 \(\displaystyle \sum_{k=N+1}^\infty M_k < \epsilon\)

因此，对于 \(\displaystyle N > N_0\)，我们有 \[ \displaystyle |F(x) - F_N(x)| < \epsilon \] 对所有 \(\displaystyle x \in D\) 成立，这说明级数是一致收敛的

示例：证明函数级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(nx)}{n^2}\) 和 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}\) 在 \(\displaystyle \mathbb{R}\) 上一致收敛 对于第一个级数，因为 \[ \displaystyle |\frac{\cos(nx)}{n^2}| \le \frac{1}{n^2} \] 对所有 \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\) 成立，并且级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\) 收敛

所以根据魏尔斯特拉斯判别法（取 \(\displaystyle M_n = 1/n^2\)），该级数一致收敛

第二个级数同理，因此，这两个级数都表示定义在 \(\displaystyle \mathbb{R}\) 上的连续函数