复可微性与柯西-黎曼方程

从复变函数到实变函数

要理解复变函数的可微性，我们首先需要建立它与我们熟悉的实变微积分之间的联系

一个复变函数 \(\displaystyle f(z)\) 可以被看作是将其定义域 \(\displaystyle D \subseteq \mathbb{C}\) 中的每个复数 \(\displaystyle z\) 映射到另一个复数

如果我们将 \(\displaystyle z\) 写成\(\displaystyle z = x+iy\)，那么函数值也通常是一个复数

我们可以将其写成如下形式： \[ \displaystyle f(z) = u(x,y) + i v(x,y) \] 这里：

• \(\displaystyle u(x,y) = \text{Re}(f(z))\) 是函数的 实部

• \(\displaystyle v(x,y) = \text{Im}(f(z))\) 是函数的 虚部

这样，一个复变函数 \(\displaystyle f\) 就对应了一个从 \(\displaystyle \mathbb{R}^2\) 到 \(\displaystyle \mathbb{R}^2\) 的向量值函数 \(\displaystyle (u(x,y), v(x,y))\)

复可微性的定义

一个函数 \(\displaystyle f\) 在点 \(\displaystyle z\) 复可微 (complex differentiable)，是指以下极限存在：

\[ \displaystyle f'(z) = \lim_{h\to 0} \frac{f(z+h) - f(z)}{h} \]

这里的关键在于，\(\displaystyle h\) 是一个复数，\(\displaystyle h \to 0\) 意味着 \(\displaystyle h\) 可以从复平面上的 任何方向 趋近于零

无论路径如何，上述极限都必须存在且为同一个值

这比实变函数中仅从左侧或右侧趋近要严格得多

柯西-黎曼方程

函数 \[ \displaystyle f(z) = u(x,y) + i v(x,y) \] 在点 \(\displaystyle z=(x,y)\) 复可微的 充要条件 是：

• 函数 \(\displaystyle u\) 和 \(\displaystyle v\) 在点 \(\displaystyle (x,y)\) 是实可微的

• 并且它们的偏导数满足柯西-黎曼方程 (Cauchy-Riemann Equations)：

\[ \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad \land \quad \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x} \]

如果满足这些条件，那么复导数可以表示为：

\[ \displaystyle f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} \]

证明

假设 \(\displaystyle f\) 在 \(\displaystyle z\) 点复可微，且其导数为 \[ \displaystyle f'(z) = a+bi \] 根据导数定义，当 \(\displaystyle h=h_1+ih_2\) 很小时，我们有 \[ \displaystyle f(z+h) - f(z) \approx f'(z)h \] 将复数形式展开： \[ \displaystyle f'(z)h = (a+bi)(h_1+ih_2) = (ah_1 - bh_2) + i(bh_1 + ah_2) \] 另一方面，\(\displaystyle f(z+h) - f(z)\) 的实部是 \[ \displaystyle u(x+h_1, y+h_2) - u(x,y) \] 虚部是 \[ \displaystyle v(x+h_1, y+h_2) - v(x,y) \] 通过比较实部和虚部，并利用实可微的定义，我们可以得到：

\[ \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = a\quad\land\quad \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y} = -b \]

\[ \displaystyle \frac{\partial v}{\partial x} = b\quad\land\quad \displaystyle \frac{\partial v}{\partial y} = a \]

从这些关系中，我们可以得到 \(\displaystyle u_x = v_y\) 和 \(\displaystyle u_y = -v_x\) 成立

反过来，如果 \(\displaystyle u\) 和 \(\displaystyle v\) 是实可微的，且它们的偏导数满足柯西-黎曼方程

通过类似的代数推导，可以证明 \(\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(z+h) - f(z)}{h}\) 的极限存在且唯一，其值为 \(\displaystyle u_x + i v_x\)

柯西-黎曼方程的几何意义

柯西-黎曼方程有一个非常优美的几何意义

一个从 \(\displaystyle \mathbb{R}^2\) 到 \(\displaystyle \mathbb{R}^2\) 的映射，其局部线性近似由雅可比矩阵 (Jacobian matrix)描述

对于函数 \(\displaystyle f\) 对应的映射 \(\displaystyle (u,v)\)，其雅可比矩阵为： \[ \displaystyle J_f = \begin{pmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{pmatrix} \]

如果柯西-黎曼方程成立，这个矩阵就变成了：

\[ \displaystyle J_f = \begin{pmatrix} u_x & -v_x \\ v_x & u_x \end{pmatrix} \]

这个矩阵的形式正是一个缩放旋转矩阵

它表示复可微函数在局部上会将微小的图形进行旋转和均匀缩放，但不会产生剪切或形变

这也是为什么复可微函数（或称全纯函数）具有保持角度不变（保角性 conformal）等优良的几何性质