多变量函数与含参反常积分的一致收敛性

Dirichlet 判别法与 Abel 判别法

定理：

设 \((\displaystyle f_n)\) 是定义在集合 \(\displaystyle D\) 上的单调递减实值函数序列（即对任意 \(\displaystyle x \in D\)，都有 \(\displaystyle f_1(x) \ge f_2(x) \ge f_3(x) \ge \dots\)），\((\displaystyle g_n)\) 是定义在 \(\displaystyle D\) 上的复值函数序列

在满足以下两个准则之一时，函数级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f_{n}g_{n}\) 在 \(\displaystyle D\) 上一致收敛：

1. Dirichlet 判别法
   • \((\displaystyle f_n)\) 在 \(\displaystyle D\) 上一致收敛到 \(\displaystyle 0\)
   • 级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}g_{n}\) 的部分和序列 \(\displaystyle G_n = \sum_{k=1}^{n}g_k\) 在 \(\displaystyle D\) 上一致有界（即存在常数 \(\displaystyle M>0\)，使得对所有 \(\displaystyle n\) 和所有 \(\displaystyle x \in D\)，都有 \(\displaystyle |G_n(x)| \le M\)）
2. Abel 判别法
   • \((\displaystyle f_n)\) 在 \(\displaystyle D\) 上一致有界
   • 级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}g_{n}\) 在 \(\displaystyle D\) 上一致收敛

这两个判别法的证明都依赖于分部求和法（或称Abel求和法）和柯西一致收敛准则

柯西准则指出，一个函数级数一致收敛的充要条件是，其部分和序列是满足一致柯西条件的

Abel 极限定理 (Abel's Limit Theorem)

Abel判别法的一个重要推论是Abel极限定理，它描述了幂级数在其收敛圆边界上的连续性

定理 :

假设幂级数 \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-a)^{n}\) 的收敛半径为 \(\displaystyle R\)，\(\displaystyle 0 < R < \infty\)

如果该幂级数在其收敛圆边界上的某一点 \(\displaystyle z_1 = a + Re^{i\phi}\) 收敛

则该级数在连接中心 \(\displaystyle a\) 与 \(\displaystyle z_1\) 的闭合线段 \(\displaystyle [a, z_1]\) 上一致收敛

因此，由该级数定义的函数在 \(\displaystyle [a, z_1]\) 上是连续的

证明：

将级数在点 \(\displaystyle z = a + re^{i\phi}\) (\(\displaystyle 0 \le r \le R\)) 处写作

\[ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{r}{R}\right)^n (a_n R^n e^{in\phi}) \]

令 \(\displaystyle f_n(r) = (r/R)^n\)，\(\displaystyle g_n(r) = a_n R^n e^{in\phi}\)

序列 \(\displaystyle f_n(r)\) 对 \(\displaystyle r \in [0,R]\) 是单调递减且一致有界的（\(\displaystyle 0 \le f_n(r) \le 1\)）

而级数 \(\displaystyle \sum g_n\) 根据假设收敛，且其项与 \(\displaystyle r\) 无关，因此它在 \(\displaystyle [0,R]\) 上一致收敛

应用Abel判别法，即可证明原级数在 \(\displaystyle [a, z_1]\) 上一致收敛

多变量函数的一致收敛

一致收敛的理论可以自然地推广到多变量函数

这里我们只叙述微分定理的多变量形式

定理：

假设函数序列 \(\displaystyle f_k: D \rightarrow \mathbb{R}\)（其中 \(\displaystyle D \subseteq \mathbb{R}^n\)）满足：

• 每个 \(\displaystyle f_k\) 都是 \(\displaystyle C^1\) 函数
• 序列 \((\displaystyle f_k)\) 在 \(\displaystyle D\) 上逐点收敛于函数 \(\displaystyle f\)
• 对于每一个 \(\displaystyle i=1, \dots, n\)，偏导数序列 \((\displaystyle \partial f_k / \partial x_i)\) 都在 \(\displaystyle D\) 上一致收敛

那么，极限函数 \(\displaystyle f(x) = \lim_{k\rightarrow\infty} f_k(x)\) 也是一个 \(\displaystyle C^1\) 函数，并且其偏导数可以和极限运算交换顺序：

\[ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i}(x) = \lim_{k\rightarrow\infty} \frac{\partial f_k}{\partial x_i}(x) \quad \text{for } 1 \le i \le n \text{ and } x \in D \]

含参反常积分的一致收敛性

函数级数的理论有其连续的对应物，即含参反常积分

含参反常积分的收敛性定义

• 逐点收敛: 含参反常积分 \(\displaystyle \int_a^\infty f(x,t) dt\) 在 \(\displaystyle D\) 上逐点收敛，是指对每一个固定的 \(\displaystyle x \in D\)，极限 \(\displaystyle \lim_{R\rightarrow\infty} \int_a^R f(x,t) dt\) 都存在

• 一致收敛: 如果积分逐点收敛于 \(\displaystyle F(x)\)，并且对于任意 \(\displaystyle \epsilon > 0\)，存在一个与 \(\displaystyle x\) 无关的 \(\displaystyle R_0\)，使得当 \(\displaystyle R > R_0\) 时，对所有 \(\displaystyle x \in D\) 都有：

  \[ \displaystyle \left| F(x) - \int_a^R f(x,t) dt \right| = \left| \int_R^\infty f(x,t) dt \right| < \epsilon \]

  则称该积分在 \(\displaystyle D\) 上一致收敛

主要定理

与函数序列相类似，我们有关于连续性和可微性的核心定理

连续性定理

若 \(\displaystyle f(x,t)\) 是一个连续的双变量函数，且积分\(\displaystyle \int_a^\infty f(x,t) dt\) 在区间 \(\displaystyle I\) 上一致收敛

则其极限函数 \(\displaystyle F(x) = \int_a^\infty f(x,t) dt\) 在 \(\displaystyle I\) 上是连续的

可微性定理（Leibniz积分法则）

若 \(\displaystyle f(x,t)\) 及其偏导数 \(\displaystyle f_x(x,t)\) 都是连续的双变量函数

积分 \(\displaystyle \int_a^\infty f(x,t) dt\) 逐点收敛，且导数积分 \(\displaystyle \int_a^\infty f_x(x,t) dt\) 在区间 \(\displaystyle I\) 上一致收敛

则 \(\displaystyle F(x) = \int_a^\infty f(x,t) dt\) 在 \(\displaystyle I\) 上可微，并且可以交换微分与积分的次序： \[ \displaystyle F'(x) = \frac{d}{dx} \int_a^\infty f(x,t) dt = \int_a^\infty \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) dt \]

一致收敛判别法

1. Cauchy 判别法:

   \(\displaystyle \int_a^\infty f(x,t) dt\) 在 \(\displaystyle D\) 上一致收敛的充要条件是：对任意 \(\displaystyle \epsilon > 0\)，存在 \(\displaystyle R_0 > 0\)，使得对所有 \(\displaystyle R' > R > R_0\) 和所有 \(\displaystyle x \in D\)，都有 \(\displaystyle |\int_R^{R'} f(x,t) dt| < \epsilon\)

2. Weierstrass 判别法:

   如果存在一个函数 \(\displaystyle \Phi(t)\) 使得对所有 \(\displaystyle (x,t) \in D \times [a, \infty)\) 都有 \(\displaystyle |f(x,t)| \le \Phi(t)\)，且 \(\displaystyle \int_a^\infty \Phi(t) dt\) 收敛，则 \(\displaystyle \int_a^\infty f(x,t) dt\) 在 \(\displaystyle D\) 上一致且绝对收敛

3. Dirichlet 判别法与 Abel 判别法:

   假设 \(\displaystyle t \mapsto f(x,t)\) 对每个 \(\displaystyle x\) 都是单调函数，而 \(\displaystyle t \mapsto g(x,t)\) 是连续函数积分 \(\displaystyle \int_a^\infty f(x,t)g(x,t) dt\) 在满足以下条件之一时一致收敛：

   • Dirichlet: \(\displaystyle f(x,t)\) 随着 \(\displaystyle t \to \infty\) 在 \(\displaystyle D\) 上一致收敛到 \(\displaystyle 0\)，且积分 \(\displaystyle \int_a^R g(x,t)dt\) 对所有 \(\displaystyle R\) 和 \(\displaystyle x\) 一致有界
   • Abel: \(\displaystyle f(x,t)\) 在 \(\displaystyle D \times [a, \infty)\) 上一致有界，且积分 \(\displaystyle \int_a^\infty g(x,t) dt\) 在 \(\displaystyle D\) 上一致收敛

计算 Dirichlet 积分

利用含参变量积分的一致收敛性来计算Dirichlet 积分： \[ \displaystyle F(0) = \int_0^\infty \frac{\sin t}{t} dt \] 构造一个含参积分 \[ \displaystyle F(x) = \int_0^\infty \frac{\sin t}{t} e^{-xt} dt \]

其中 \(\displaystyle x \in [0, \infty)\)

对于 \(\displaystyle x > 0\)，利用 Weierstrass 判别法可以证明，可以对 \(\displaystyle F(x)\) 在积分号下求导：

\[ \displaystyle F'(x) = -\int_0^\infty e^{-xt} \sin t \, dt = -\frac{1}{1+x^2} \] 对 \(\displaystyle F'(x)\) 积分得到 \[ \displaystyle F(x) = -\arctan x + C \] 由于 \(\displaystyle \lim_{x\to\infty} F(x) = 0\)（可以证明），可得 \(\displaystyle C = \pi/2\)

所以对 \(\displaystyle x > 0\)，\(\displaystyle F(x) = \pi/2 - \arctan x\)

最关键的一步是证明 \(\displaystyle F(x)\) 在 \(\displaystyle x=0\) 处是连续的，这样我们就能通过取极限来求 \(\displaystyle F(0)\)：

\[ \displaystyle F(0) = \lim_{x \to 0^+} F(x) = \lim_{x \to 0^+} (\pi/2 - \arctan x) = \pi/2 \] 为了证明在 \(\displaystyle x=0\) 的连续性，需要证明积分： \[ \displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin t}{t} e^{-xt} dt \] 在 \(\displaystyle [0, \infty)\) 上是一致收敛的

由于该积分不是绝对收敛的，Weierstrass 判别法失效，但我们可以使用 Dirichlet 判别法 将积分写为 \[ \displaystyle \int_0^1 \dots dt + \int_1^\infty \dots dt \] 第一部分是正常积分，其连续性容易证明

对于第二部分 \(\displaystyle \int_1^\infty e^{-xt} \frac{\sin t}{t} dt\)，令 \(\displaystyle f(x,t) = e^{-xt}/t\) 和 \(\displaystyle g(x,t) = \sin t\)

函数 \(\displaystyle f(x,t)\) 对 \(\displaystyle t \ge 1\) 单调递减，并一致收敛到0，而 \(\displaystyle \int_1^R \sin t \, dt\) 是一致有界的

因此，根据 Dirichlet 判别法，该积分在 \(\displaystyle [0, \infty)\) 上一致收敛，从而 \(\displaystyle F(x)\) 在 \(\displaystyle x=0\) 处连续

所以，

\[ \displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin t}{t} dt = \frac{\pi}{2} \]