常微分方程的现代视角：沃尔泰拉积分方程

沃尔泰拉（Volterra）积分方程

考虑一个标准的一阶常微分方程初值问题 (IVP)，其形式如下：

\[ \displaystyle y' = f(t, y) \quad \land \quad y(t_0) = y_0 \]

其中函数 \(\displaystyle f: D \rightarrow \mathbb{R}\) 在开集 \(\displaystyle D \subseteq \mathbb{R}^2\) 上连续，且点 \(\displaystyle (t_0, y_0)\) 属于 \(\displaystyle D\)。

我们可以通过对该微分方程从 \(\displaystyle t_0\) 到 \(\displaystyle t\) 进行积分，将其转化为一个等价的积分方程。

若 \(\displaystyle \phi(t)\) 是该 IVP 在某个包含 \(\displaystyle t_0\) 的区间 \(\displaystyle I\) 上的解，那么它必须满足： \[ \displaystyle \phi(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} \phi'(s) \, ds \]

由于 \(\displaystyle \phi'(s) = f(s, \phi(s))\)，我们可以将上式改写为：

\[ \displaystyle \phi(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, \phi(s)) \, ds \quad \text{(IE)} \]

这个方程被称为沃尔泰拉（Volterra）积分方程。

反之，任何满足此积分方程 (IE) 的连续函数 \(\displaystyle \phi(t)\)，其函数图像包含于定义域 \(\displaystyle D\) 内，也必然是原初值问题的解。

因此，求解一个一阶 IVP 的问题被完全转化为了求解一个等价的积分方程的问题。

算子与不动点

积分方程的表述引出了一种非常有力的分析工具：算子（Operator）

我们可以定义一个作用于函数空间上的算子 \(\displaystyle T\) 如下： \[ \displaystyle (T\psi)(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, \psi(s)) \, ds \]

此算子 \(\displaystyle T\) 将一个定义在区间 \(\displaystyle I\) 上的连续函数 \(\displaystyle \psi\) 映射到另一个函数 \(\displaystyle T\psi\)。

借助这个算子，积分方程 (IE) 可以被简洁地表示为：

\[ \displaystyle T\phi = \phi \]

满足这个条件的函数 \(\displaystyle \phi\) 被称为算子 \(\displaystyle T\) 的 不动点 (Fixed Point)。

这个发现至关重要，因为它将微分方程的求解问题转化为了一个在函数空间中寻找算子不动点的问题。

这使得我们可以应用强大的不动点理论（如巴拿赫不动点定理）来证明解的存在性和唯一性。

考虑以下初值问题：

\[ \displaystyle y' = 2y \quad \land \quad y(1) = 3 \]

其对应的算子 \(\displaystyle T\) 为：

\[ \displaystyle (T\psi)(t) = 3 + \int_{1}^{t} 2\psi(s) \, ds \]

该 IVP 的解是 \(\displaystyle \phi(t) = 3e^{2(t-1)}\)。我们可以验证 \(\displaystyle \phi(t)\) 确实是算子 \(\displaystyle T\) 的一个不动点：

\[ \displaystyle \begin{aligned} (T\phi)(t) &= 3 + \int_{1}^{t} 2 \cdot (3e^{2(s-1)}) \, ds \\ &= 3 + \int_{1}^{t} 6e^{2s-2} \, ds \\ &= 3 + [3e^{2s-2}]_{1}^{t} \\ &= 3 + (3e^{2t-2} - 3e^{2(1)-2}) \\ &= 3e^{2t-2} = \phi(t) \end{aligned} \]

由于 \(\displaystyle T\phi = \phi\)，函数 \(\displaystyle \phi(t)\) 是算子 \(\displaystyle T\) 的不动点，从而也是原 IVP 的解。

高阶常微分方程的降阶

我们可以将一个 n 阶常微分方程转化为一个等价的一阶常微分方程组，从而将高阶问题简化为我们已经熟悉的一阶系统问题。

考虑一个一般的 n 阶显式常微分方程：

\[ \displaystyle y^{(n)} = f(t, y, y', \dots, y^{(n-1)}) \]

其中 \(\displaystyle f\) 是一个在其定义域上连续的函数。

为了实现降阶，我们引入一个向量 \(\displaystyle \mathbf{y}\)，其分量由未知函数 \(\displaystyle y\) 及其直到 \(\displaystyle (n-1)\) 阶的导数构成：

\[ \displaystyle \mathbf{y}(t) = \begin{pmatrix} y_0(t) \\ y_1(t) \\ \vdots \\ y_{n-1}(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y(t) \\ y'(t) \\ \vdots \\ y^{(n-1)}(t) \end{pmatrix} \]

对该向量求导，我们得到：

\[ \displaystyle \mathbf{y}'(t) = \begin{pmatrix} y_0' \\ y_1' \\ \vdots \\ y_{n-2}' \\ y_{n-1}' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_{n-1} \\ y^{(n)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_{n-1} \\ f(t, y_0, y_1, \dots, y_{n-1}) \end{pmatrix} \]

这样，我们就得到了一个一阶向量微分方程 \(\displaystyle \mathbf{y}' = \mathbf{f}(t, \mathbf{y})\)，其中函数 \(\displaystyle \mathbf{f}\) 定义为：

\[ \displaystyle \mathbf{f}(t, y_0, \dots, y_{n-1}) = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_{n-1} \\ f(t, y_0, y_1, \dots, y_{n-1}) \end{pmatrix} \]

原 n 阶方程的解 \(\displaystyle y(t)\) 正是这个一阶方程组解向量 \(\displaystyle \mathbf{y}(t)\) 的第一个分量 \(\displaystyle y_0(t)\)。同样的降阶方法也适用于相应的初值问题。

考虑二阶线性方程 \(\displaystyle y'' + y = 0\)。

我们令 \(\displaystyle y_0 = y\) 和 \(\displaystyle y_1 = y'\)。那么可以得到：

• \(\displaystyle y_0' = y_1\)
• \(\displaystyle y_1' = y'' = -y = -y_0\)

因此，原二阶方程等价于以下一阶方程组：

\[ \displaystyle \begin{pmatrix} y_0 \\ y_1 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} y_1 \\ -y_0 \end{pmatrix} \]

我们知道原方程的通解是 \(\displaystyle y(t) = A\cos t + B\sin t\)。因此，对应系统的解向量为：

\[ \displaystyle \mathbf{y}(t) = \begin{pmatrix} y_0(t) \\ y_1(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A\cos t + B\sin t \\ -A\sin t + B\cos t \end{pmatrix} \]

通过这种降阶技术，包括高阶方程和方程组在内的大多数问题都可以被转化为一阶系统问题进行研究，这极大地统一了微分方程的理论体系。